Assalamualukum Wr Wb
Materi tentang Logika Matematika
Materi tentang Logika Matematika
Logika Matematika Dasar
Ilmu Logika itu kalimat kalimat atau argument Tujuannya untuk menentukan kalimat benar dan salah
- Deklarasi (Proposi)
Kalimat deklaratif (proposi) = Bernilai
Contoh yang Proposi :
2 + 2 = 4
Jakarta adalah ibukota Negara Indonesia
Republic indonesia berjumlah 10juta jiwa
Contoh yang bukan Proposi :
Anto lebih tinggi dari tuti
Kalimat diatas termasuk bukan proposi karena belum jelas siapanya, anto siapa dan tuti juga siapa (tidak jelas)
Dasar dasar Logika
Contoh
| - | Tidak / Not | Tidak |
|---|---|---|
| Ʌ | Dan | … dan … |
| V | Atau | … atau … |
| à | Implikasi | Jika … Maka … |
| ßà | Biimplikasi | Jika dan hanya maka |
A : hari ini panas
B : hari ini cerah
Hari ini tidak panas tapi cerah
Hari ini tidak panas dan tidak cerah
Tidak benar bahwa hari ini panas dan cerah
Penyelesaian
-aɅb
-aɅ-b
-(aɅb)
Table kebenaran
| A | B | -a | -b | aɅb | aVb | a à b | a ßà b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | T | T | F |
| F | F | T | T | F | F | T | T |
Ket : T = true(benar)
F = force(salah)
2. Ekuivalen (sama)
Jika –(a) dengan a hasilnya sama atau tidak ?
| A | -a | -(a) |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | F |
Berarti dalam table kebenaran itu hasil dari –(a) ≡ a (ekuivalen)
Nilainya sama aja
3. Tautologi Dan Kontradiksi
tautologi adalah kalimat yang selalu benar sedangkan kontradiksi adalah
kalimat yang selalu salah
| A | B | aɅb | (aɅb)-b |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | F | T |
| F | T | F | T |
| F | F | T | T |
Table diatas itu Tautologi karena kalimat bernilai benar semua
4. Konvers Invers kontraposisi
misalkan suatu implikasi : a à b
konvers : a à a
invers : -a à -b
kontraposisi : -b à -a
contohnya
a. keliling segi empat adalah 16 cm
b. keliling persegi panjang adalah 16 cm
implikasi = jika keliling persegi empat adalah 16 cm, maka keliling persegi panjang adalah 16 cm
konvers = jika keliling persegi panjang adalah 16 cm, maka keliling perssegi empat adalah 16 cm
invers = jika keliling persegi empat adalah bukan 16 cm, maka keliling persegi panjang adalah bukan 16 cm
kontraposisi = jika keliling persegi panjang adalah bukan 16 cm meka keliling persegi empat adalah bukan 16 cm
5. Inferensi Logika
contoh tentukan apakah valid atau invalid ?
pv (qvr)
-r
v pvq
| p | q | R | qɅp | pv(qvr) | -r | pvq |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | F | T |
| T | T | F | T | T | T | T |
| T | F | T | T | T | F | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| F | T | T | T | T | F | T |
| F | T | F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T | F | T |
| F | F | F | F | F | T | F |
1. Aljabar Bolean
T/F V à +
B/S Ʌ à .
1/0 - à ‘
V → or → atau
Ʌ → and → dan
- → not → tidak
aɅb => a.b
aVb => a+b
-a => a’
| a | b | a.b | a' | b' |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Gerbang Logika Dasar
Pengertian Gerbang Logika Dasar dan Jenis-jenisnya– Gerbang Logika atau dalam bahasa Inggris disebut dengan Logic Gate adalah dasar pembentuk Sistem Elektronika Digital yang berfungsi untuk mengubah satu atau beberapa Input (masukan) menjadi sebuah sinyal Output (Keluaran) Logis. Gerbang Logika beroperasi berdasarkan sistem bilangan biner yaitu bilangan yang hanya memiliki 2 kode simbol yakni 0 dan 1 dengan menggunakan Teori Aljabar Boolean.
Gerbang Logika yang diterapkan dalam Sistem Elektronika Digital pada dasarnya menggunakan Komponen-komponen Elektronika seperti Integrated Circuit (IC), Dioda, Transistor, Relay, Optik maupun Elemen Mekanikal.
Terdapat 7 jenis Gerbang Logika Dasar yang membentuk sebuah Sistem Elektronika Digital, yaitu :
1. Gerbang AND
2. Gerbang OR
3. Gerbang NOT
4. Gerbang NAND
5. Gerbang NOR
6. Gerbang X-OR (Exclusive OR)
7. Gerbang X-NOR (Exlusive NOR)
Tabel yang berisikan kombinasi-kombinasi Variabel Input (Masukan) yang menghasilkan Output (Keluaran) Logis disebut dengan “Tabel Kebenaran” atau “Truth Table”.
Input dan Output pada Gerbang Logika hanya memiliki 2 level. Kedua Level tersebut pada umumnya dapat dilambangkan dengan :
§ HIGH (tinggi) dan LOW (rendah)
§ TRUE (benar) dan FALSE (salah)
§ ON (Hidup) dan OFF (Mati)
§ 1 dan 0
Contoh Penerapannya ke dalam Rangkaian Elektronika yang memakai Transistor TTL (Transistor-transistor Logic), maka 0V dalam Rangkaian akan diasumsikan sebagai “LOW” atau “0” sedangkan 5V akan diasumsikan sebagai “HIGH” atau “1”.
Berikut ini adalah Penjelasan singkat mengenai 7 jenis Gerbang Logika Dasar beserta Simbol dan Tabel Kebenarannya.
Gerbang AND (AND Gate)
Gerbang AND memerlukan 2 atau lebih Masukan (Input) untuk menghasilkan hanya 1 Keluaran (Output). Gerbang AND akan menghasilkan Keluaran (Output) Logika 1 jika semua masukan (Input) bernilai Logika 1 dan akan menghasilkan Keluaran (Output) Logika 0 jika salah satu dari masukan (Input) bernilai Logika 0. Simbol yang menandakan Operasi Gerbang Logika AND adalah tanda titik (“.”) atau tidak memakai tanda sama sekali. Contohnya : Z = X.Y atau Z = XY.
Simbol dan Tabel Kebenaran Gerbang AND (AND Gate)
Gerbang OR (OR Gate)
Gerbang OR memerlukan 2 atau lebih Masukan (Input) untuk menghasilkan hanya 1 Keluaran (Output). Gerbang OR akan menghasilkan Keluaran (Output) 1 jika salah satu dari Masukan (Input) bernilai Logika 1 dan jika ingin menghasilkan Keluaran (Output) Logika 0, maka semua Masukan (Input) harus bernilai Logika 0.
Simbol yang menandakan Operasi Logika OR adalah tanda Plus (“+”). Contohnya : Z = X + Y.
Gerbang NOT (NOT Gate)
Gerbang NOT hanya memerlukan sebuah Masukan (Input) untuk menghasilkan hanya 1 Keluaran (Output). Gerbang NOT disebut juga dengan Inverter (Pembalik) karena menghasilkan Keluaran (Output) yang berlawanan (kebalikan) dengan Masukan atau Inputnya. Berarti jika kita ingin mendapatkan Keluaran (Output) dengan nilai Logika 0 maka Input atau Masukannya harus bernilai Logika 1. Gerbang NOT biasanya dilambangkan dengan simbol minus (“-“) di atas Variabel Inputnya.
Gerbang NAND (NAND Gate)
Arti NAND adalah NOT AND atau BUKAN AND, Gerbang NAND merupakan kombinasi dari Gerbang AND dan Gerbang NOT yang menghasilkan kebalikan dari Keluaran (Output) Gerbang AND. Gerbang NAND akan menghasilkan Keluaran Logika 0 apabila semua Masukan (Input) pada Logika 1 dan jika terdapat sebuah Input yang bernilai Logika 0 maka akan menghasilkan Keluaran (Output) Logika 1.
Gerbang NOR (NOR Gate)
Arti NOR adalah NOT OR atau BUKAN OR, Gerbang NOR merupakan kombinasi dari Gerbang OR dan Gerbang NOT yang menghasilkan kebalikan dari Keluaran (Output) Gerbang OR. Gerbang NOR akan menghasilkan Keluaran Logika 0 jika salah satu dari Masukan (Input) bernilai Logika 1 dan jika ingin mendapatkan Keluaran Logika 1, maka semua Masukan (Input) harus bernilai Logika 0.
Gerbang X-OR (X-OR Gate)
X-OR adalah singkatan dari Exclusive OR yang terdiri dari 2 Masukan (Input) dan 1 Keluaran (Output) Logika. Gerbang X-OR akan menghasilkan Keluaran (Output) Logika 1 jika semua Masukan-masukannya (Input) mempunyai nilai Logika yang berbeda. Jika nilai Logika Inputnya sama, maka akan memberikan hasil Keluaran Logika 0.
Gerbang X-NOR (X-NOR Gate)
Seperti Gerbang X-OR, Gerban X-NOR juga terdiri dari 2 Masukan (Input) dan 1 Keluaran (Output). X-NOR adalah singkatan dari Exclusive NOR dan merupakan kombinasi dari Gerbang X-OR dan Gerbang NOT. Gerbang X-NOR akan menghasilkan Keluaran (Output) Logika 1 jika semua Masukan atau Inputnya bernilai Logika yang sama dan akan menghasilkan Keluaran (Output) Logika 0 jika semua Masukan atau Inputnya bernilai Logika yang berbeda. Hal ini merupakan kebalikan dari Gerbang X-OR (Exclusive OR)
Kalimat Berkuantor
Dalam ilmu logika, kalimat-kalimat yang memerlukan subyek disebut Predikat.
Misalkan :
p : terbang ke bulan
q : lebih tebal dari kamus
, maka p maupun q adalah predikat-predikat.
Salah satu cara untuk mengubah predikat menjadi suatu kalimat adalah dengan mensubstitusi semua variabelnya dengan nilai-nilai tertentu.
Misalkan p(x) : “x habis dibagi 5” dan x disubstitusi dengan 35
, maka p(x) menjadi kalimat benar.
Cara lain adalah dengan menambahkan kuantor pada kalimat.
Kuantor adalah kata-kata seperti beberapa, semua, dll yang menunjukkan banyaknya elemen yang dibutuhkan agar predikat menjadi benar.
Ada dua macam kuantor untuk menyatakan jumlah objek yang terlibat :
1. Kuantor Universal (simbol ")
2. Kuantor Eksistensial (simbol $)
Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap objek dalam semestanya memiliki sifat kalimat yang menyatakannya.
* ("x) p(x) bernilai benar bila dan hanya bila p(x) benar untuk semua x dalam semesta D.
* ("x) p(x) bernilai salah apabila ada x Î D yang menyebabkan p(x) salah. Harga x yang menyebabkan p(x) salah disebut Contoh Penyangkal(Counter Example).
Kuantor eksistensial menunjukkan bahwa diantara objek-objek dalam semestanya, paling sedikit ada satu objek (atau lebih, asal tidak semua) yang memenuhi sifat kalimat yang menyatakannya.
Beberapa kata yang digunakan untuk menyebut kuantor eksistensial adalah ”Terdapat ...”, ”Beberapa x bersifat ...”, ”Ada ...”, ”Paling sedikit ada satu x ...”.
($ x Î D) q(x) bernilai benar bila dan hanya bila paling sedikit ada satu x Î D yang menyebabkan q(x) benar, dan bernilai salah jika untuk semua x Î D yang menyebabkan q(x) benar, maka q(x) bernilai salah.
INGKARAN KALIMAT BERKUANTOR
Ingkaran kalimat ”semua x bersifat p(x)” adalah ”Ada x yang tidak bersifat p(x)”
Ingkaran kalimat ”Ada x yang bersifat q(x)” adalah ”Semua x tidak bersifat q(x)”
Ø((" x Î D) p(x)) º ($ x Î D) Øp(x)
Ø(($ x Î D) q(x)) º (" x Î D) Øq(x)
KALIMAT BERKUANTOR GANDA
("x)("y) p(x,y) Û ("y)("x) p(x,y)
($x)($y) p(x,y) Û ($y)($x) p(x,y)
($x)("y) p(x,y) Þ ("y)($x) p(x,y)
Ingkaran kalimat berkuantor ganda :
Ø{("x)($y) p(x,y)} º ($x)("y) Øp(x,y)
Ø{($x)("y) p(x,y)} º ("x)($y) Øp(x,y)
Sekian dari saya, kurang lebihnya mohon maaf
Apabila ingin download file Pdf nya silahkan Klik Disini
Wassalamualaikum Wr Wb
No comments:
Post a Comment
Berkomentarlah jika ada pertanyaan, Kesan pembaca atau saran yang membangun blog ini.
> Gunakan akun google dan ceklis kolom (Notify Me) agar mendapat notifikasi balasan komentar