Materi dan Soal Kalkulus Pertidaksamaan Kuadrat, Limit, Linear, Pecahan, Nilai Mutlak

Berikut adalah materi kuliah kalkulus tentang PERTIDAKSAMAAN semester 1, prodi Teknik Informatika :

Bab 1 Pertidaksamaan
Definisi Pertidaksamaan adalah Sebuah Pertidaksamaan adalah pernyataan bahwa dua kuantitas tidak setara nilainya. Salah satu pernyataan matematika yang mengandung satu peubah atau lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda ketidaksamaan, yaitu: <, >, ≤, atau ≥.
Jenis jenis pertidaksamaan Jenis pertidaksamaan anatara lain :

• Peridaksamaan linear (PANGKAT SATU)
• Pertidaksamaan kuadrat
• Pertidaksamaan bentuk pecaha
• Pertidaksamaan bentuk nilai mutlak ( modus)

1. Pertidaksamaan Linear (Pangkat Satu)

Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linier dalam x.  yang  vareabelnya berderajat satu dengan menggunakan tanda hubung lebih besar dari atau kurang dari.
Sifat-sifat pertidaksamaan antara lain:

Jika a > b dan b > c, maka a > c
 (ii)  Jika a > b, maka a + c > b + c
(iii)  Jika a > b, maka a - c > b  c
 (iv)  Jika a > b dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc
 (v)  Jika a > b dan c adalah bilangan negatif, maka ac < bc

Dengan mengganti tanda > pada sifat-sifat diatas dengan tanda <, maka akan didapat sifat-sifat yang analog sebagai berikut :
 Jika a < b dan b < c, maka a < c
 Jika a < b, maka a + c < b + c
 Jika a < b, maka a - c < b  c
  Jika a < b dan c adalah bilangan positif, maka ac < bc
  Jika a < b dan c adalah bilangan negatif, maka ac > bc
xi)  ac > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0
(xii)  ac < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0
(xiii)  a/c > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0
(xiv)  a/c < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0
(xv)  Jika a > b, maka a < -b
(xvi)  Jika 1/a < 1/b, maka a > b
(xvii)  Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk komposit)
(xviii)  Jika a > b > c, maka b < a atau b > c ( bentuk komposit)

Langkah  langkah menyelesaikan pertidaksamaan linier :
1. Pindahkan semua yang mengandung variabel ke ruas kiri, sedangkan yang tidak mengandung variabel ke ruas kanan.
2. Kemudian sederhanakan.
Perhatikan contoh soal berikut:
1. Contoh 1  Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 5x  5 < 7x + 3 !
Jawab
 5x  5 < 7x + 3
 5x  7x < 3 + 5
 - 2x < 8
 x > - 4


2.  Tentukan nilai x yang memenuhi  pertidaksamaan  2(x-3) < 4x+8 ?
Jawab
Penyelesaian
2(x-3) < 4x+8
2x - 6 < 4x+8
2x  4x< 6+8
-2x < 14    
X > -7
3. Tentukan nilai x yang  memenuhi pertidaksamaan 2x -
Jawab
Penyelesaian
2x
8x-2      3x+8
8x-3x     8+2
5x      10
x     2

2.  Pertidaksamaan Kuadrat 

Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya   adalah 2. Bentuk umum peridaksamaan kuadrat adalah ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a 0.
Langkah-langkah:
Tentukan batas-batasnya dengan mengubah ke dalam persamaan kuadrat

Buatlah garis bilangan dan masukkan batas yang diperoleh (jika ada) dengan batas yang kecil di sebelah kiri
Uji titik pada masing-masing daerah
Tentukan HP nya

Contoh soal
Contoh 1  Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan  !
Jawab
  ( x  2 ) ( x  5 ) < 0
   x = 2 atau x = 5 ( pembuat nol )


jadi Hp =
 Tentukan HP dari   x2 – 2x – 8 ≥ 0
Jawab :
Batas : x2 – 2x – 8 = 0  
(x - 4)(x + 2) = 0
x = 4 atau x = -2
        +++   - - - - -      +++
        -2                   4

Karena yang diminta ≥ 0 maka yang memenuhi adalah yang bertanda positip Sehingga HP nya adalah {x | x ≤ -2 atau x ≥ 4}

3.  Pertidaksamaan bentuk pecahan

Pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya mengandung variabel x.
Langkah – langkah menyelesaikan pertidaksamaan pecahan :
Pindahkan semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan = 0 (ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
Sederhanakan ruas kiri.
Ubah bentuk  menjadi a.b
Tentukan pembuat nol ruas kiri.
Tuliskan nilai  nilai tersebut pada garis bilangan.
Berikan tanda pada setiap interval.
Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan.
Selanjutnya, sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat: penyebut pecahan 0
Perhatikan Contoh soal :
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan  !
Jawab

I syarat :
X  1
X 1

II.
X = -8 atau x = 1 ( pembuat nol )

Jadi Hp =

4.  Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Merupakan pertidaksamaan dimana variabelnya berada di dalam tanda mutlak. Indikator : Menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear yang memuat nilai mutlak.

Cara mencari penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak adalah dengan menggunakan sifat berikut ini :
Perhatikan contoh berikut:
Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan  !
Jawab

3x + 2 < - 5        atau      3x + 2 > 5
       3x < - 7                           3x > 3
       x < -7/3                           x > 1

Sekian dari saya apabiala ada kesalahan saya mohon maaf terima kasih.
Jika ingin download materi kalkulus tentang pertidaksamaan silahkan klik disini
Wassalamualaikum Wr Wb